表面準位 表面準位の概要

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表面準位

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/07 08:35 UTC 版)

凝縮体の界面における表面準位の起源

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図1 理想的な表面で終わる周期的な結晶ポテンシャルの簡略化1次元モデル。表面では、モデルのポテンシャルが急に真空準位にとぶ（実線）。破線はより現実的なグラフを表しており、ポテンシャルはある程度の距離で真空準位に達する。

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図2 バルク準位に対応する1次元シュレーディンガー方程式の解の実部。これらの準位はバルクでブロッホの特徴を持ち、真空にいくと指数関数的に減衰する。

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図3 表面準位に対応する1次元シュレーディンガーの解の実部。これらの準位は真空とバルク結晶の両方で減衰するため、結晶表面に局在する準位を表す。

ブロッホの定理で述べられているように、完全に周期的なポテンシャル（結晶）である単一電子シュレーディンガー方程式の固有状態はブロッホ波である。

${\begin{aligned}\Psi _{n{\boldsymbol {k}}}&=\mathrm {e} ^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u_{n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}).\end{aligned}}$ 図4 ほとんど自由な電子の電子バンド構造の図。ブリルアンゾーンの境界から離れると電子波動関数は平面波の特性を持ち、分散関係は放物線になる。ブリルアンゾーンの境界では波動関数は入射波とブラッグ反射波からなる定在波である。最終的にこれによりバンドギャップが形成される。

ほとんど自由な電子の近似を用いて、狭ギャップ半導体の表面準位の基本的特性を導出することができる。この場合、半無限線形連鎖モデルも有用である。しかし、ここでは原子鎖に沿ったポテンシャルはコサイン関数として変化すると仮定する。

${\begin{alignedat}{2}V(z)&=V\left[\exp \left(i{\frac {2\pi z}{a}}\right)+\exp \left(-i{\frac {2\pi z}{a}}\right)\right]\\&=2V\cos \left({\frac {2\pi z}{a}}\right),\\\end{alignedat}}$ 図5 プラチナ原子のような軌道。示された軌道は密度汎関数計算で使われるダブルゼータ基底関数系の一部である。軌道は通常の量子数(n,l,m)により区別される。

単原子線形鎖の表面準位の結果は、3次元結晶の場合に対して簡単に一般化することができる。表面格子は2次元で周期性があるため、ブロッホの定理は表面に平行な並進に対しても成り立つ必要がある。結果として、表面準位は表面に平行なk値${\textbf {k}}_{||}=(k_{x},k_{y})$と1次元の表面準位を表す関数の積として書くことができる。

${\begin{aligned}\Psi _{0}({\textbf {r}})&=&\psi _{0}(z)u_{{\textbf {k}}_{||}}({\textbf {r}}_{||})e^{-i{\textbf {r}}_{||}\cdot {\textbf {k}}_{||}}\end{aligned}}$

この準位のエネルギーは、項$E_{||}$により増加し、

${\begin{aligned}E_{s}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}{\textbf {k}}_{||}^{2}}{2m^{*}}},\end{aligned}}$

を得る。ここでm^*は電子の有効質量。結晶表面、つまりz=0での整合条件は、各${\textbf {k}}_{||}$に対してそれぞれ満たされ、各${\textbf {k}}_{||}$に対して1つである必要がある。しかし、表面準位の一般的に異なるエネルギー準位が得られる。

真の表面準位と表面共鳴

表面準位はエネルギー$E_{s}$と表面に平行な波動ベクトル${\textbf {k}}_{||}$により書かれるが、バルク準位は$\mathbf {k} _{||}$と$\mathbf {k} _{\perp }$波数の両方により特徴づけられる。したがって表面の2次元ブリルアンゾーンでは、$\mathbf {k} _{||}$の各値に対して$\mathbf {k} _{\perp }$のロッドがバルクの3次元ブリルアンゾーンに延びている。これらのロッドにより切られているバルクエネルギーバンドにより、結晶の深くまで進む準位が可能になる。よって、一般的には真の表面準位と表面共鳴は区別される。真の表面準位は、バルクエネルギーバンドで減衰しないエネルギーバンドにより特徴づけられる。これらは禁制エネルギーギャップにのみ存在するため、図3に示すように表面に局在する。表面とバルク準位が縮退するエネルギーでは、表面とバルク準位が混ざり合い表面共鳴を形成する。このような準位はブロッホ波同様バルクの奥まで伝播することができるが、表面近くでは振幅が増大する。