小行列式 多重線型代数アプローチ

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小行列式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/29 10:22 UTC 版)

多重線型代数アプローチ

よりシステマティックには、小行列式の概念の代数学的な扱いはウェッジ積を用いて多重線型代数において与えられる：行列の k次小行列式は k次外冪写像の成分である。

行列の列が一度に k回一緒にウェッジされると、k次小行列式は得られる k次元ベクトルの成分として現れる。例えば、行列

${\begin{bmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{bmatrix}}$

の 2次小行列式は −13（最初の2行から）、−7（最初と最後の行から）、5（最後の2行から）である。さてウェッジ積

$({\boldsymbol {e}}_{1}+3{\boldsymbol {e}}_{2}+2{\boldsymbol {e}}_{3})\wedge (4{\boldsymbol {e}}_{1}-{\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3})$

を考えよう。ただし2つの式は我々の行列の2つの行に対応する。ウェッジ積の性質を用いて、すなわち双線型性と

${\boldsymbol {e}}_{i}\wedge {\boldsymbol {e}}_{i}=0$

と

${\boldsymbol {e}}_{i}\wedge {\boldsymbol {e}}_{j}=-{\boldsymbol {e}}_{j}\wedge {\boldsymbol {e}}_{i}$

を用いて、この数式は

$-13{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2}-7{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3}+5{\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3}$となる。ここで係数は先に計算した小行列式と一致する。