可解リー環 性質

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可解リー環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/06/04 08:37 UTC 版)

性質

リーの定理は以下のようなものである。V が標数 0 の代数閉体 K 上の有限次元ベクトル空間で、g が K の部分体 k 上の可解線型リー環で、π が V 上の g の表現であれば、すべての元 X ∈ g に対する行列 π(X) の同時固有ベクトル v ∈ V が存在する。より一般に、この結果は、すべての X ∈ g に対して π(X) のすべての固有値が K に入っていれば成り立つ。

• 可解リー環のすべての部分リー環、商環、拡大環は可解である。
• 非零可換リー環は非零可換イデアル、導来列の最後の非零項、を持つ。
• 可解リー環の準同型像は可解である。
• a が g の可解イデアルで g/a が可解であれば、g は可解である。
• g が有限次元であれば、g のすべての可解イデアルを含む唯一の可解イデアル r ⊂ g が存在する。このイデアルは g の根基 (radical) と呼ばれ、rad g と記される。
• a, b ⊂ g が可解イデアルであれば、a + b も可解イデアルである。
• 可解リー環 g は唯一の最大冪零イデアル n, ad_X が冪零なる X ∈ g 全体の集合、を持つ。D が g の任意の derivation であれば、D(g) ⊂ n である。

Completely solvable Lie algebras

リー環 g が completely solvable あるいは split solvable とは、0 から g への g のイデアルの elementary sequence を持つことをいう。有限次元冪零リー環は completely solvable であり、completely solvable Lie algebra は可解である。代数的閉体上、可解リー環は completely solvable であるが、平面のユークリッド等長写像の群の3 次元実リー環は可解だが completely solvable ではない。

• (a) 可解リー環 g が split solvable であることと ad_X のすべての固有値がすべての X ∈ g に対して k に入ることは同値である。

例

• 0でない半単純リー環は可解ではない。
• すべての可換リー環は可解である。
• すべての冪零リー環は可解である。
• b_k を gl_k の部分環で上三角行列のみからなるとする。このとき b_k は可解である。
• g を

$X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .$

の形の行列全体の集合とする。すると g は可解であるが split solvable ではない。これは平面の平行移動と回転の群のリー環に同型である。