加群の層

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/05 13:00 UTC 版)

層の拡大

$(X, O)$ を環付き空間とし， $F$ , $H$ を $X$ 上の $O$ 加群の層とする． $H$ の $F$ による拡大 (extension) とは， $O$ 加群の短完全列

0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0

である．

群の拡大と同様， $F$ と $H$ を固定すれば， $H$ の $F$ による拡大の同値類全体はアーベル群をなし（cf. Baer和（英語版）），この群は Ext 群 $\mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)$ と同型で，単位元は自明な拡大と対応する．

$H$ が $O$ のとき次が成り立つ．すべての $i \geq 0$ に対して

\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\mathrm {Ext} _{O}^{i}(O,F),

なぜならば両辺とも同じ関手 $\Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)$ の右導来関手だからである．

注意：著者によっては（特にハーツホーン），添え字 $O$ を書かない．

$X$ をネーター環上の射影スキームとする． $F$ , $G$ を $X$ 上の連接層とし， $i$ を整数とする．するとある $n 0$ が存在して

\operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}

となる^[13]．

「local-to-global Ext spectral sequence（英語版）」も参照

^ Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry, 2.5.
^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.2.
^ このコホモロジー関手はアーベル層の圏における大域切断関手の右導来関手と一致する； cf. Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6.
^ 標準的な準同型

${\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x})$

が存在し， $F$ が有限表示のときこれは同型である (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
^ 連接層に対し，テンソル逆を持つことは階数 1 で局所自由であることと同じである；実は，次が成り立つ： $F\otimes G\simeq O$ である； $F$ が連接であれば， $F,$ $G$ は階数 1 で局所自由である．(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
^ Hartshorne, Ch III, Lemma 2.4.
^ See also: http://math.stackexchange.com/questions/447220/hartshornes-weird-definition-of-right-derived-functors-and-prop-iii-2-6/447234#447234
^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.1.
^ EGA I, Ch. I, Proposition 1.3.6.
^ ^a ^b EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.12.
^ EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.9.
^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.11.
^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 6.9.