ワッサースタイン計量 性質

ウィキペディア

ワッサースタイン計量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 03:07 UTC 版)

性質

距離構造

W_p は、P_p(M) 上の距離の公理をすべて満たすことが示される。さらに、W_p についての収束は、通常の測度の弱収束に初めの p 次モーメント収束を加えたものと同値である。

W₁ の双対表現

次に挙げる W₁ の双対表現は、カントロヴィチとルビンスタインの双対定理（1958年）の特別な場合である：μ と ν が有界な台を持つとき、

$W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right|{\mbox{continuous }}f:M\to \mathbb {R} ,\mathrm {Lip} (f)\leq 1\right\}$

が成立する。ここで Lip(f) は f に関する最小のリプシッツ定数を表す。

これを、ラドン計量の定義と比較する：

$\rho (\mu ,\nu ):=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right|{\mbox{continuous }}f:M\to [-1,1]\right\}.$

もし計量 d がある定数 C によって抑えられているなら、

$2W_{1}(\mu ,\nu )\leq C\rho (\mu ,\nu )$

が得られる。したがって、ラドン計量における収束（M がポーランド空間であるときの全変動収束に等しい）は、ワッサースタイン計量における収束を意味する。しかしその逆は一般には成り立たない。

可分性と完備性

任意の p ≥ 1 に対し、計量空間 (P_p(M), W_p) が可分および完備であるための十分条件は、(M, d) が可分および完備であることである。