W1 の双対表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 03:07 UTC 版)
「ワッサースタイン計量」の記事における「W1 の双対表現」の解説
次に挙げる W1 の双対表現は、カントロヴィチとルビンスタインの双対定理（1958年）の特別な場合である：μ と ν が有界な台を持つとき、 W 1 ( μ , ν ) = sup { ∫ M f ( x ) d ( μ − ν ) ( x ) | continuous f : M → R , L i p ( f ) ≤ 1 } {\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right|{\mbox{continuous }}f:M\to \mathbb {R} ,\mathrm {Lip} (f)\leq 1\right\}} が成立する。ここで Lip(f) は f に関する最小のリプシッツ定数を表す。 これを、ラドン計量の定義と比較する： ρ ( μ , ν ) := sup { ∫ M f ( x ) d ( μ − ν ) ( x ) | continuous f : M → [ − 1 , 1 ] } . {\displaystyle \rho (\mu ,\nu ):=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right|{\mbox{continuous }}f:M\to [-1,1]\right\}.} もし計量 d がある定数 C によって抑えられているなら、 2 W 1 ( μ , ν ) ≤ C ρ ( μ , ν ) {\displaystyle 2W_{1}(\mu ,\nu )\leq C\rho (\mu ,\nu )} が得られる。したがって、ラドン計量における収束（M がポーランド空間であるときの全変動収束に等しい）は、ワッサースタイン計量における収束を意味する。しかしその逆は一般には成り立たない。
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