チェザロ和 積分のチェザロ総和法

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チェザロ和

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 07:00 UTC 版)

積分のチェザロ総和法

α > 0 とする。積分 ∫₀^∞ f(x)dx が (C, α)-総和可能であるとは

$\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\!\alpha }\!f(x)\,dx$

が有限確定であることを言い、この極限の収束値をこの積分の (C, α)-和という (Titchmarsh 1948, §1.15)。数列の和の場合と同様に、α = 0 のとき (C,0)-総和可能性とは通常の意味での無限積分の収束性をいうものであり、α = 1 のとき (C,1)-収束とは有限区間での積分の平均の極限

$\lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\int _{0}^{x}f(y)\,dy\right\}\,dx$

の存在をいうに等しい。

数列の場合と同様に、α ≥ 0 に対して、ある積分が (C, α)-総和可能であれば、β ≥ α なるすべての β についてその積分は (C, β)-総和可能であり、そのチェザロ和はまったく同じ値を持つ。