チェザロ和 チェザロ和の概要

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チェザロ和

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 07:00 UTC 版)

名称は19世紀のイタリアの数学者アーネスト・チェザロに因む。

定義

数列 {a_n} の第 k-部分和を

$s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}$

とする。 ここで、極限

$A:=\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{i}$

が有限確定であるとき、数列 {a_n} はチェザロ総和可能あるいはチェザロの意味で総和可能であるといい、極限の値 A を数列 {a_n} あるいは級数 ∑ a_n のチェザロ和あるいはチェザロの意味での和という。

例

n ≥ 1 に対して a_n = (−1)ⁿ⁺¹ とする。つまり {a_n} は

$1,-1,1,-1,\ldots$

のような数列である。このとき、その部分和の列 (s_n) は、

$1,0,1,0,\ldots$

で与えられ、その和は（グランディ級数 (en) として有名なものだが）明らかに収束しない。にもかかわらず、数列 {(s₁ + ... + s_n)/n} の各項は

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots$

のようになり、極限では

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2$

が成立する。ゆえに、数列 {a_n} のチェザロ和は 1/2 である。