アーノルドの猫写像 アーノルドの猫写像の概要

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アーノルドの猫写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 02:30 UTC 版)

写像がどのように単位正方形を延ばし、モジュロ演算に対してどのようにその断片が再構成されるかを図示したもの。矢印のついた直線は、固有空間が縮小および拡大される方向を表す。

商空間 $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ としてのトーラス $\mathbb {T} ^{2}$ を考える。アーノルドの猫写像は、次の式で与えられる変換 $\Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}$ である：

$\Gamma \,:\,(x,y)\to (2x+y,x+y){\bmod {1}}.$

また同値であるが、行列を使うと次のように表すことも出来る：

$\Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.$

すなわち、単位長は正方形の像の幅と等しいものとして、この像は 1 単位上にせん断された後、1 単位右にせん断され、単位正方形の外側にあるものはすべてその内側に来るように戻される。