アトラス (多様体)

アトラス (多様体)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/09 01:38 UTC 版)

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定義

アトラスの定義にはチャートの概念が必要である

定義 (chart): 位相空間 $M$ のチャートは $M$ の開集合 $U$ と $U$ 上で定義されたユークリッド空間の開集合への同相写像 $φ$ の組 $(U, φ)$ を言う。このとき、 $φ$ を $U$ 上の座標系^[3]（座標函数系、座標標構、座標写像などとも）^{[注釈 1]}と呼び、 $φ$ の像空間における各成分^{[注釈 2]}を局所座標函数あるいは $U$ 上の座標函数と呼ぶ。また、 $M$ の各点 $p$ に対し、 $p \in U$ となるようなチャート $(U, φ)$ を考えるとき、 $U$ を $p$ の座標近傍、 $φ (p)$ を $x$ の座標と呼ぶ。
定義: 位相空間 $M$ のアトラスとは、 $A$ で添字付けられた $M$ のチャートの族 $(U α, φ α) α \in A$ で ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=M}$

M

Two charts on a manifold, and their respective transition map

更なる構造

多様体には単なる位相構造以外にも構造が入っていたほうがよいのが普通である。例えば、多様体上の写像の微分の概念が紛れ無く定義されるようにするならば、そのアトラスは任意の座標変換が可微分函数となるように構成されなければならない。そのような多様体は可微分多様体という。可微分多様体が与えられれば、その接ベクトルそして方向微分の概念が紛れ無く定まる。

任意の座標変換が滑らかな写像（英語版）となるとき、アトラスは滑らかなアトラス（英語版）、多様体は滑らかな多様体と呼ぶ。あるいは、座標変換が

k

-回連続的微分可能とだけ仮定して

C k

-級アトラス、

C k

-級（可微分）多様体が定められる。

非常に一般に、任意の座標変換函数がユークリッド空間の同相写像からなる擬群（英語版） 𝒢 に属するならば、そのアトラスは 𝒢-アトラスであるという。また、チャート間の遷移写像が局所自明化を保つならば、そのアトラスはファイバー束の構造を定める。

注釈

^ あるいは $U$ を特に固定あるいは指定せずに、局所座標系、局所座標函数系、局所座標標構、局所座標写像など
^ 任意の点 $p \in M$ における値が $φ (p) : = (φ 1 (p), \dots, φ n (p)) \in R n$ と書けるときの各 $φ i$ , これをしばしば $φ : = (x 1, \dots, x n)$ のようにも書く^[3]

出典

^ 松島 1965, p. 25.
^ 松島1965, p. 24.
^ ^a ^b 野水 1981, p. 2.

「アトラス (多様体)」の続きの解説一覧

1 アトラス (多様体)とは
2 アトラス (多様体)の概要
3 関連項目

アトラス (多様体) アトラス (多様体)の概要

目次

定義

更なる構造

注釈

出典