coarse空間の間の写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 09:48 UTC 版)
「粗空間」の記事における「coarse空間の間の写像」の解説
集合 S {\displaystyle S} から粗空間 X {\displaystyle X} への二つの写像 f , g : S → X {\displaystyle f,g\colon S\to X} について、 { ( f ( a ) , g ( a ) ) : a ∈ S } {\displaystyle \{(f(a),g(a)):a\in S\}} が X {\displaystyle X} の近縁になるとき f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は近い(close)あるいはボルノトピック(bornotopic)であるという。 粗空間 X {\displaystyle X} から粗空間 Y {\displaystyle Y} への写像 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} について、全ての X {\displaystyle X} の近縁 E {\displaystyle E} に対し、 { ( f ( x ) , f ( y ) ) : ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle \{(f(x),f(y)):(x,y)\in E\}} が Y {\displaystyle Y} の近縁になるとき f {\displaystyle f} はボルノロガス(bornologous)(又は coarsely uniform) であるという。 粗空間 X {\displaystyle X} から粗空間 Y {\displaystyle Y} へのボルノロガス写像 X : X → Y {\displaystyle X\colon X\to Y} について、ある粗写像 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} が存在し g ∘ f {\displaystyle g\circ f} と i d X {\displaystyle \mathrm {id} _{X}} 、 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} と i d Y {\displaystyle \mathrm {id} _{Y}} がそれぞれ近いとき、 f {\displaystyle f} を粗同値写像(coarsely equivalence)という。 このとき、 g {\displaystyle g} を f {\displaystyle f} の粗逆写像という。また、粗同値写像が存在するときに、粗空間 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} は 粗同値(coarsely equivalent)であるという。 有界な粗空間は(空でなければ)全て互いに粗同値である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} への各成分の整数部分を対応させる写像は有界粗構造について粗同値写像である。
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