coarse空間の間の写像とは? わかりやすく解説

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coarse空間の間の写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 09:48 UTC 版)

粗空間」の記事における「coarse空間の間の写像」の解説

集合 S {\displaystyle S} から粗空間 X {\displaystyle X} への二つ写像 f , g : S → X {\displaystyle f,g\colon S\to X} について、 { ( f ( a ) , g ( a ) ) : a ∈ S } {\displaystyle \{(f(a),g(a)):a\in S\}} が X {\displaystyle X} の近縁になるとき f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は近い(close)あるいはボルノトピック(bornotopic)であるという。 粗空間 X {\displaystyle X} から粗空間 Y {\displaystyle Y} への写像 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} について、全ての X {\displaystyle X} の近縁 E {\displaystyle E} に対し、 { ( f ( x ) , f ( y ) ) : ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle \{(f(x),f(y)):(x,y)\in E\}} が Y {\displaystyle Y} の近縁になるとき f {\displaystyle f} はボルノロガス(bornologous)(又は coarsely uniform) であるという。 粗空間 X {\displaystyle X} から粗空間 Y {\displaystyle Y} へのボルノロガス写像 X : X → Y {\displaystyle X\colon X\to Y} について、ある粗写像 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} が存在し g ∘ f {\displaystyle g\circ f} と i d X {\displaystyle \mathrm {id} _{X}} 、 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} と i d Y {\displaystyle \mathrm {id} _{Y}} がそれぞれ近いとき、 f {\displaystyle f} を粗同値写像(coarsely equivalence)という。 このとき、 g {\displaystyle g} を f {\displaystyle f} の粗逆写像という。また、同値写像存在するときに、粗空間 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} は 粗同値(coarsely equivalent)であるという。 有界粗空間は(空でなければ全て互いに同値である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} への各成分整数部分対応させる写像有界構造について同値写像である。

※この「coarse空間の間の写像」の解説は、「粗空間」の解説の一部です。
「coarse空間の間の写像」を含む「粗空間」の記事については、「粗空間」の概要を参照ください。

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