弱位相 (極位相)

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弱位相 (極位相)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/09 06:15 UTC 版)

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函数解析学および関連する数学の分野において、弱位相（じゃくいそう、英: weak topology）とは、粗（英語版）極位相、すなわち、ある双対組上の最小の開集合を伴う位相のことを言う。最も細かい（finest）極位相は、強位相と呼ばれる。

弱位相の下で、有界集合は相対コンパクト集合と一致する。この事実より重要なブルバキ＝アラオグルの定理が導かれる。

定義

双対組 ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$ が与えられたとき、弱位相 ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ は ${\displaystyle X}$ 上の最も弱い極位相である。したがって

${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))'\simeq Y}$

が成り立つ。すなわち、${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$ の連続双対は、同型を除いて ${\displaystyle Y}$ と等しい。

弱位相は次のように構成される：

${\displaystyle Y}$ 内のすべての ${\displaystyle y}$ に対し、${\displaystyle X}$ 上の半ノルム

${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$

を、次のように定める：

${\displaystyle p_{y}(x):=\vert \langle x,y\rangle \vert \qquad x\in X.}$

この半ノルムの族は、${\displaystyle X}$ 上の局所凸位相を定義する。

例

• ノルム線型空間 ${\displaystyle X}$ とその連続双対 ${\displaystyle X'}$ が与えられたとき、${\displaystyle \sigma (X,X')}$ は ${\displaystyle X}$ 上の弱位相と呼ばれ、${\displaystyle \sigma (X',X)}$ は ${\displaystyle X'}$ 上の弱スター位相（英語版）と呼ばれる。