シルベスター数列

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シルベスター数列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/24 13:50 UTC 版)

シルベスター数の逆数和 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 +… が1に収束することのグラフィカルな実演。各行は一辺が 1/k である正方形 k 個からなり、従って面積は 1/k となり、それら正方形の全体は一辺が1の正方形をちょうど被覆する。一辺 1/1807、あるいはそれ以下の正方形は小さすぎて図中で見ることはできない。

数論において、シルベスター数列 (英語: Sylvester's sequence) とは、各項がそれまでの項の総積に1を足したものであるような数列である。最初のいくつかの項は次のようになる：

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A000058)

「シルベスター数列」という名称は、1880年にこの数列を最初に調査したジェームス・ジョセフ・シルベスターに由来している。数列の各項の値はシルベスター数 (英: Sylvester number) と呼ばれることもある。

シルベスター数列の値は二重指数関数的に増加し、その逆数の和は他の単位分数の級数よりも速く1に収束する。シルベスター数列を定義する漸化式は、各項の数の素因数分解をより容易にさせるが、数列の増加速度が急速であるために、完全な素因数分解はいくつかの項に対してしか知られていない。

シルベスター数は1のエジプト式分数表現、佐々木・アインシュタイン多様体、オンラインアルゴリズムの実装などに応用されている。

形式的定義

シルベスター数列の第 n 項は次の式で定義される：

${\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.}$

シルベスター数の素因数分解については、多くのことが未解決のままである。例えば、全ての数が平方因子をもたない整数であるかどうか不明である (既知の数は全て平方因子を持たないことがわかっている)。

Vardi (1991)が説明しているように、与えられた素数 p で割り切れるシルベスター数がどれかを決定することは簡単である：p を法として0に合同となる数か、周期的な列のいずれかが見つかるまで、法 p の下でのシルベスター数列を計算すればよい。この方法を使って、Vardiは最初の300万個の素数のうち1166個がシルベスター数の素因数であること^{[注 2]}、それらの数の平方がシルベスター数の因数にならないことを突き止めた。シルベスター数の因数として現れる素数の集合は、全ての素数の集合に対して密度0 (Natural density の意味で) である^[7]。実際、x より小さいそのような数は ${\textstyle O(x/(\log x\cdot \log \log \log x))}$

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Boyer, Galicki & Kollár (2005) ではシルベスター数列の性質を使って、奇数次元の球面またはエキゾチック球面（英語版）に対する非同値な佐々木・アインシュタイン多様体^{[注 4]}の族を与えている^[11]。彼らは論文中で、2m－3 次元の球面またはエキゾチック球面上で少なくとも ${\textstyle {\tfrac {1}{3}}(s_{m-1}-1)}$