シュプリンガーの解消とは？わかりやすく解説

数学において、1969年にトニー・アルバート・シュプリンガー（英語版）によって導入された、シュプリンガーの解消は半単純リー環でのべき零元の多様体の^[1]^[2]、もしくは簡約可能代数群（英：reductive algebraic group）のべき零元の多様体の、ひとつの解消（英語版）である^[3]。この解消のファイバーはシュプリンガー・ファイバー（英：Springer fiber）と呼ばれる^[4]。

もし U が或る簡約群 G の冪単元（英：unipotent）のなす代数多様体であって、 X がG のボレル部分群 B のなす代数多様体であるとき、 U のシュプリンガー解消はU x X の対(u, B) でB がu を含むものの多様体である。 U への写像は第1の要素への射影（英：projection）である。G のリー環のべき零元によって U は置き換わりボレル部分環の多様体によって X は置き換わることを除いて、リー環へのシュプリンガーの解消は同じである^[5]。

まったくの群 G（もしくは G のまったくのリー環）によって U は置き換わることを除いて、グロタンディーク‐シュプリンガーの解消は同様に定義される。G の冪単元に制限されるときそれはシュプリンガーの解消になる^[6]^[7]。

参考文献

[脚注の使い方]

^ Chriss, Neil; Cinzburg, Victor (1997), Representation theory and complex geometry, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3792-3, MR 1433132
^ Dolgachev, I.; Goldstein, N. (1984), “On the Springer resolution of the minimal unipotent conjugacy class”, J. Pure Appl. Algebra 32 (1): 33-47, doi:10.1016/0022-4049(84)90012-4, MR 0739636
^ Springer, T. A. (1969), “The unipotent variety of a semi-simple group”, Algebraic Geometry (Internet. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, pp. 373-391, ISBN 978-0-19-635281-7, MR 0263830
^ Ginzburg, Victor (1998), “Geometric methods in the representation theory of Hecke algebras and quantum groups”, Representation theories and algebraic geometry (Montreal, PQ, 1997), NATO Advanced Science Institute Series C: Mathematical and Physical Sciences, 514, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, pp. 127-183, arXiv:math/9802004, ISBN 0-7923-5193-2, MR 1649626
^ Springer, T.A. (1976), “Trigonometric sums, Green functions of finite groups and representaions of Weyl groups”, Invent. Math. 36: 173-207, doi:10.1007/BF01390009, MR 0442103
^ Steinberg, Robert (1974), Conjugacy classes in algebraic groups., Lecture Notes in Mathematics, 366, Berlin-NewYork: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067854, ISBN 978-3-540-06657-6, MR 0352279
^ Steinberg, Robert (1976), “On the desingularization of the unipotent variety”, Invent. Math. 36: 209-224, doi:10.1007/BF01390010, MR 0430094