分解型八元数

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分解型八元数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/30 21:05 UTC 版)

数学における分解型八元数（ぶんかいがたはちげんすう、英: split-octonion）の全体は、実八次元の分配多元環を成す。通常の八元数とは異なり、非可逆な非零元を含む。またその計量二次形式（（二次の）ノルム）の符号数も異なり、通常の八元数のが正定値符号数 (8, 0) を持つのに対して、分解型八元数のは分解型符号数 (4, 4) を持つ。

八元数全体と分解型八元数全体の二者が、同型を除いて可能な実数体 ℝ 上の一般八元数環の全てを尽くす。任意の体 F 上でも対応する分解型の八元数環を考えることができる。

定義

ケーリー＝ディクソン構成

八元数全体および分解型八元数全体は、四元数の対の間に乗法を定義することにより、ケーリー＝ディクソン構成から得られる。新しい虚数単位 ℓ を導入して、四元数の対 (a, b) を a + ℓb の形に書けば、その積は

$(a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})\quad (\lambda :=\ell ^{2})$

八元数の積の記憶術

分解型八元数の基底元の乗法表を表す簡便な記憶術が右図である。これは（基底元の記号を少し改めて書けば）以下のような計算規則（同値なものが480通りある）：

スカラーである基底元を e₀ として ${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}\ (i,j,k=1,\cdots ,7)}$一覧

カテゴリ:数