Sinc関数による近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 00:14 UTC 版)
「ディラックのデルタ関数」の記事における「Sinc関数による近似」の解説
Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族 f k ( x ) = sin k x π x ( k ∈ R ) {\displaystyle f_{k}(x)={\frac {\sin kx}{\pi x}}\quad (k\in \mathbb {R} )} は、デルタ関数の満たすべき条件 ∫ − ∞ ∞ f k ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{k}(x)\,dx=1} を満たす。ただし、これは左辺を広義積分 lim a → ∞ ∫ − a a {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}} として解釈した際に成立する等式である。上記の例と違ってこの関数族は k → ∞ としても各点収束しないが、任意のコンパクト台の滑らかな関数 g に対して lim k → ∞ ∫ − ∞ ∞ f k ( x ) g ( x ) d x = g ( 0 ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{k}(x)g(x)dx=g(0)} が成り立っている。これも弱収束の意味でデルタ関数を近似していると考えられ、 lim k → ∞ sin k x π x = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\sin kx}{\pi x}}=\delta (x)} と表現される。
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