(Polar topology から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/02 08:39 UTC 版)
数学 の関数解析学 の分野における極位相 （きょくいそう、英 : polar topology ）あるいは
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
双対組 のベクトル空間 に対して定義されるある局所凸位相 のことをいう。
定義 実数 あるいは複素数 の体 上のベクトル空間
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
(
X
,
Y
,
⟨
,
⟩
)
{\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}
集合
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
{
⟨
x
,
y
⟩
;
x
∈
A
}
{\displaystyle \{\langle x,y\rangle ;x\in A\}}
∀
y
∈
Y
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
⟩
|
<
∞
.
{\displaystyle \forall y\in Y\qquad \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |<\infty .}
この条件は、
Y
{\displaystyle Y}
A
{\displaystyle A}
極
A
∘
=
{
y
∈
Y
:
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
1
}
{\displaystyle A^{\circ }=\{y\in Y:\quad \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}
が
Y
{\displaystyle Y}
併呑集合 であることと同値である。すなわち、次と同値である。
⋃
λ
∈
F
λ
⋅
A
∘
=
Y
.
{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in {\mathbb {F} }}\lambda \cdot A^{\circ }=Y.}
今
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
∀
x
∈
X
∃
A
∈
A
x
∈
A
,
{\displaystyle \forall x\in X\qquad \exists A\in {\mathcal {A}}\qquad x\in A,}
二つの集合
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
C
∈
A
{\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}
∀
A
,
B
∈
A
∃
C
∈
A
A
∪
B
⊆
C
,
{\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {A}}\qquad \exists C\in {\mathcal {A}}\qquad A\cup B\subseteq C,}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
∀
A
∈
A
∀
λ
∈
F
λ
⋅
A
∈
A
.
{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}\qquad \forall \lambda \in {\mathbb {F} }\qquad \lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}
このとき、次のセミノルム
∥
y
∥
A
=
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
⟩
|
,
A
∈
A
,
{\displaystyle \|y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |,\qquad A\in {\mathcal {A}},}
は
Y
{\displaystyle Y}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
Y
{\displaystyle Y}
極位相 という[1]
U
A
=
{
x
∈
V
:
∥
φ
∥
A
<
1
}
,
A
∈
A
,
{\displaystyle U_{A}=\{x\in V:\quad \|\varphi \|_{A}<1\},\qquad A\in {\mathcal {A}},}
はこの位相の局所基を形成する。元のネット
y
i
∈
Y
{\displaystyle y_{i}\in Y}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
∀
A
∈
A
∥
y
i
−
y
∥
A
=
sup
x
∈
A
|
⟨
x
,
y
i
⟩
−
⟨
x
,
y
⟩
|
⟶
i
→
∞
0.
{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}\qquad \|y_{i}-y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y_{i}\rangle -\langle x,y\rangle |{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}
このことにより、極位相はしばしば
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
一様収束 位相と呼ばれる。セミノルム
∥
y
∥
A
{\displaystyle \|y\|_{A}}
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
例
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
強位相 と一致する。
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
弱位相 と一致する。任意の局所凸空間
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X'}
A
⊆
X
′
{\displaystyle A\subseteq X'}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
{\displaystyle X}
[2]
関連項目 注釈
^ A.P.Robertson, W.Robertson (1964 , III.2)^ 言い換えると、
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
A
⊆
X
′
{\displaystyle A\subseteq X'}
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
sup
x
∈
U
,
f
∈
A
|
f
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{x\in U,f\in A}|f(x)|<\infty }
参考文献
Robertson, A.P.; Robertson, W. (1964). Topological vector spaces . Cambridge University Press.
Schaefer, Helmuth H. (1966). Topological vector spaces . New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6 .
