モンゴメリー・オドリズコ予想

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モンゴメリー・オドリズコ予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/22 03:55 UTC 版)

モンゴメリー・オドリズコ予想（英語: Montgomery's pair correlation conjecture, Montgomery-Odlyzko law）とは、リーマンゼータ関数の自明でない零点の間隔の分布は、ガウス型ユニタリ・アンサンブル（GUE）にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一であるとする予想。この予想によれば、リーマン・ゼータ関数の零点の正規化された間隔は、ランダム行列理論を使った重い原子核のエネルギー準位の間隔と同様に、対相関関数が次式で表される。

$1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}$

モンゴメリー・オドリズコ予想の数値計算例。実線は、GUE型のランダム行列の固有値の二点相関数である。一方、青のシンボルは、リーマンゼータ関数の非自明な零点の規格化された間隔から求めた対相関関数である。ここで、非自明な零点は最初の10⁵個のものを用いている。

AT&T ベル研究所の研究員であったオドリズコは、モンゴメリの予想結果に触発され、非自明な零点の間隔分布について、詳細な数値計算による検証を行った。そして、モンゴメリーの対相関関数予想の成立が確からしいこと、さらに、非自明な零点の規格化された間隔分布そのものが、GUE型のランダム行列の固有値の間隔分布に一致するであろうことを示した。これらの結果は、1987年の論文「ゼータ関数の零点間隔の分布について」で報告された。

非自明な零点1/2+iγ_nに対し、規格化された間隔

$\delta _{n}=(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}){\frac {\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}{2\pi }}$