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レーマーの予想

(Lehmer's conjecture から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/03 17:28 UTC 版)

τ(n) が 0 とならないことについてのレーマーの予想については「ラマヌジャンのタウ函数」をご覧ください。

オイラーのトーシェント函数についてのレーマーの予想については「Lehmer's totient problem（英語版）」をご覧ください。

この記事の正確性に疑問が呈されています。問題箇所に信頼できる情報源を示して、記事の改善にご協力ください。議論はノートを参照してください。（2015年2月）

レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である^[1]。この予想は、ある絶対的な定数が存在して、すべての整数係数の多項式は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。

のマーラー測度はより大きいかまたは等しい。

は、円分多項式もしくは単項式の積の整数倍である。この場合はである。（同じことであるが、のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。）

マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式を上分解して

とし、

と定義するものがある。

知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式

のマーラー測度であり、これはサレム数（英語版）(Salem number)^[2]

である。

この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想のであると広く信じられている^[3]^[4]。

動機

一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、であれば、

であることを示している。（このパラグラフを通して、と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）

このことは、が整数係数の多項式であれば、が 1 以上の代数的数であり、従って、は代数的整数の対数であることを示している。また、もしであれば、は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、の単項式、つまり、あるに対してべきの積となることも示している。

レーマー(Lehmer)は、モニック多項式に対する整数列の研究の中で、が重要な数値であることに気づいた^[1]^[5]。もしが円の上で 0 とならない場合はであることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。

が非円分的なとき、

となるような定数

が存在するかどうか？

あるいは、

が与えられた場合、

となる整数係数の

が存在するかどうか？

以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。

部分的結果

を次数の既約モニック多項式とする。スミス ^[6] は、自己相反多項式でない、つまり、

であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。

ブランクスビー(Blanksby)とヒュー・モンゴメリー（英語版）(Montgomery)は、^[7] で、ステワート(Stewart)^[8]とは独立に、絶対的な定数が存在し、かまたは、: を満たすことを証明した^[9]。

ドブロウォルスキー(Dobrowolski) ^[10] はこの結果を改善し

とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている^[11]。

楕円の類似

を数体で定義された楕円曲線とし、を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数の楕円曲線の類似である。この高さについては、であることと、がの中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。楕円レーマー予想(elliptic Lehmer conjecture)は、定数が存在し、すべての捩れのない点に対して、

となるという予想である。ここにとする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、

となる^[12]。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果^[12]は、ダヴィッド・マッサー（英語版）(David Masser)による

という結果である^[13]。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて^[12]、ヒンドリー(Hindry)とジョゼフ・シルバーマン（英語版）(Joseph H. Silverman)による

という結果がある^[14]。

制限付きの結果

より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。

P(x) が相反ではないとき、

となり、これは明らかに最良の場合である^[15]。さらに、P の係数がすべて奇数であれば^[16]、

となる。

αを任意の代数的数とするとき、体 Q(α) が Qのガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ^[16]。

参考文献

^ ^a ^b Lehmer, D.H. (1933). “Factorization of certain cyclotomic functions”. Ann. Math. (2) 34: 461–479. doi:10.2307/1968172. ISSN 0003-486X. Zbl 0007.19904.
^ Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. p. 16. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001.
^ Smyth (2008) p.324
^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 30. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
^ David Boyd (1981). "Speculations concerning the range of Mahler's measure" Canad. Math. Bull. Vol. 24(4)
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^ Blanksby, P. E.; Montgomery, H. L. (1971). “Algebraic integers near the unit circle”. Acta Arith. 18: 355–369. Zbl 0221.12003.
^ Stewart, C. L. (1978). “Algebraic integers whose conjugates lie near the unit circle”. Bull. Soc. Math. France 106: 169–176.
^ Smyth (2008) p.325
^ Dobrowolski, E. (1979). “On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial”. Acta Arith. 34: 391–401.
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^ ^a ^b ^c Smyth (2008) p.327
^ Masser, D.W. (1989). “Counting points of small height on elliptic curves”. Bull. Soc. Math. Fr. 117 (2): 247–265. Zbl 0723.14026.
^ Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1990). “On Lehmer's conjecture for elliptic curves”. In Goldstein, Catherine. Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1988-89. Prog. Math.. 91. pp. 103–116. ISBN 0-8176-3493-2. Zbl 0741.14013.
^ Smyth (2008) p.328
^ ^a ^b Smyth (2008) p.329

Smyth, Chris (2008). “The Mahler measure of algebraic numbers: a survey”. In McKee, James; Smyth, Chris. Number Theory and Polynomials. London Mathematical Society Lecture Note Series. 352. Cambridge University Press. pp. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9.