掛谷集合

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掛谷集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/02 07:10 UTC 版)

数学において掛谷集合（かけやしゅうごう、英: Kakeya set）もしくはベシコビッチ集合（英: Besicovitch set）とは、ユークリッド空間において、全ての方向に単位線分を持つ点の集合のことである。名称は掛谷宗一およびアブラム・ベシコヴィッチ（英語版）に因む。任意の正の数よりも小さい測度の掛谷集合が存在する。

平面において単位線分を連続的な移動により180度回転させて、線分を元の位置に向きを逆転させて戻すことができる点の集合を掛谷針集合と呼ぶ。

ベシコビッチの針集合

「ペロンツリーの成長」: 小さな測度の掛谷集合を構築する方法。ここでは、三角形を分割し、重なり合わせる二つの方法が示されている。最初は二つの三角形を使う方法で、次は八つの三角形を使う方法である。この方法は、元の三角形を ${\displaystyle 2^{n}}$

ペロンツリーから構築された掛谷針集合。

1941年、H. J. ヴァン・アルフェン^[6]は、半径 2 + ε（任意の ε > 0）を持つ円の中に任意に小さな掛谷針集合が存在することを示した。1965年には、より小さい面積の単連結掛谷針集合が発見された。メルビン・ブルームとI. J. ショーンバーグは独立に、面積が ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

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