KUrt

外国人名読み方字典

Kurt

名前 カート； クルト； カー； カーティス； カルツ； クアト； クット； クールト； クルート； グルト； クルトゥ

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尖度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/24 15:14 UTC 版)

尖度（せんど、英: kurtosis）は、確率変数の確率密度関数や頻度分布の鋭さを表す指標である。正規分布と比べて、尖度が大きければ鋭いピークと長く太い裾をもった分布であり、尖度が小さければより丸みがかったピークと短く細い尾をもつ分布である。日本産業規格では、とがり (kurtosis) として平均値まわりの4次のモーメント μ₄ の標準偏差 σ の4乗に対する比 μ₄/σ⁴ と定義しているが、それからさらに3を引いた値が尖度として定義される場合がある。後者の尖度は特に超過尖度(英: excess kurtosis)と呼ばれることがある。

2種類の定義

尖度には、4次の標準化モーメントとも呼ばれるμ₄/σ⁴から3を引いて正規分布の尖度を0とする定義と、４次の標準化モーメントをそのまま用いて正規分布の尖度を3とする定義がある。これら2種類の定義の違いは、尖度が正規分布との乖離をみるために使われることに起因している。一般には正規分布の尖度を0とすることが多い。Excelの分析ツール等は正規分布の尖度を0としている。東京大学出版会の「統計学入門」(ISBN 4130420658)やNumerical Recipesなども正規分布の尖度が0となるように、尖度を定めている。

モーメントによる定義

確率変数 $X$

模式的であるが、平均値の周りでは尖りが大きく裾を引いた分布であることがわかる。 「尖度」（尖＝とがり）と表現するのは誤解しやすく、裾の重さというほうが実態を表している（詳細は参考文献を参照）。

特殊な分布

$p(x)={\frac {1}{\alpha \,\mathrm {\mathrm {B} } \!\left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{\!2\,}\right]^{-m}\!$

では両者（裾の重さと平均値の周りでは尖り）の概念は一致するが、一般の分布では一致しないのは明らかである。

標本モーメントによる母集団の尖度推定

ここでは、標本の大きさ $n$ の標本に基づく母集団の尖度の推定を考える 。

一般には、尖度の定義の分母分子の不偏推定量をもって母集団の尖度の推定量とする方法がもっとも多く使用される。具体的には、母集団のキュムラントの不偏推定量である k統計量 (k-statistics)を使った計算方法である。 $r$ 次の k統計量を $k_{r}$、平均周りの $r$ 次のモーメントを $m_{r}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{r}$ とすると、

$k_{2}={\frac {n}{n-1}}m_{2}$

$k_{4}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\left\{(n+1)m_{4}-3(n-1){m_{2}}^{2}\right\}$

なので、上の 2 式をキュムラントによる定義に代入して推定量とする方法である。

最終的には $\beta _{2}$ の推定量 $b_{2}$ について次を得る。

$b_{2}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-{\frac {3(3n-5)}{(n-2)(n-3)}}$

ここで、 $s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\,m_{2}}}$（不偏標準偏差)

3を引いた定義では、次式になる。

${\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-3{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}$

分布と尖度の例

以下に、いくつかの確率分布における尖度を、正規分布の尖度を0とした定義のもとで示す。なお、ここに挙げた分布の歪度は全て0である。

分布	(超過)尖度
正規分布	0
ラプラス分布	3
双曲線正割分布	2
ロジスティック分布	6/5
二乗余弦分布	−0.593762…
ウィグナー半円分布	−1
一様分布	−6/5

参考文献

• A Dictionary of Statistical Terms, 4th edition(Kendall, Maurice G.；Buckland, William R.)
  • ケンドール　統計学用語辞典 (訳 千葉大学統計グループ) (丸善) ISBN 4621032038
• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。 
• 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。 ISBN 9784000803090。 
• JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (1999), http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 
• JIS Z 8101-1:2015 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (2015) 
• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。 ISBN 9784874720127。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。 

関連項目

• 歪度 - ゆがみ
• 統計量 - 要約統計量