Internal setとは？わかりやすく解説

数理論理学、特にモデル理論および超準解析における内的集合（ないてきしゅうごう、英: internal set）は、何らかのモデルの要素となる集合を言う。

内的集合の概念は、（実数全体の成す集合 $ℝ$ の性質と超実数と呼ばれるより大きな体 $* ℝ$ の持つ性質との間の論理的な関係を取りなす）移行原理（英語版）を定式化する際の道具となる。超実体 $* ℝ$ は、特に無限小数を含み、無限小を用いた議論を数学的に厳密に正当化することができる。厳密さをさておけば、移行原理とは「数理論理学的に適当な言語で言い表された $ℝ$ 上の解析学は、同様に $* ℝ$ に対しても適用できる」ことを指摘するものである。集合論的なレベルで言えば、そのような言語に関する命題が（任意の集合ではなく）内的集合に対してのみ解釈されるということが、その適用を可能とする理由である（ここでは「言語」という用語をややいい加減な意味で用いていることを断っておく）。

エドワード・ネルソン（英語版）の内的集合論（英語版） (IST) は超準解析に対する公理的アプローチである（構成的超準解析（英語版）におけるパルムグレン(Palmgren) のアプローチも参照のこと）。超準解析に関する従来の無限大量も内的集合の概念を用いる。

超冪構成における内的集合

実数列 $⟨ u n ⟩$ の同値類として超実数を定める超冪構成に関連して、 $* ℝ$ の内的部分集合 $[A n]$ は実数からなる部分集合列 $⟨ A n ⟩$ によって定義される。ここに、超実数 $[u n]$ が集合 $[A n] (\subset * ℝ)$ に属するには、 $u n \in A n$ を満たす添字 $n$ 全体の成す集合が $* ℝ$ の構成において用いた超フィルターに含まれることが必要十分である。