一般化アペル多項式

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一般化アペル多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/05/21 16:22 UTC 版)

数学において、ある多項式列 に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、英: generalized Appell representation）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

ただし母関数あるいは核と呼ばれる は、次の級数によって構成される：

with

および

and all

および

with

上述のように、 が次数 の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

特別な場合

• とすると、ブレンケ多項式のクラスに属する多項式が得られる。
• とすると、ニュートン多項式のような一般差分多項式を含む多項式のシェファー列が得られる。
• それらを合わせて および とすることで、多項式のアペル列が得られる。

陽的表現

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

この定数は

で与えられる。ただしこの和は を 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての に対して取られる。

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

漸化式

核 が に対し と書くことが出来るための必要十分条件は

が成り立つことである。ただし および にはべき級数表現

および

が存在する。今

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

ブレンケ多項式の特別な場合として、 が得られ、したがって が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

関連項目

• q-差分多項式

参考文献

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
• William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
• W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.