Euler's theorem (differential geometry)

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オイラーの定理 (微分幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/03 18:21 UTC 版)

微分幾何学において、オイラーの定理（オイラーのていり）とは、曲面上の曲線の曲率について、極大・極小を与える主曲率とそれに伴う主方向の存在を規定する定理。1760年にレオンハルト・オイラーにより証明が与えられた。

定理

Mを三次元ユークリッド空間上の曲面、pをM上の点とするとき、pを通りMの法ベクトルを含む平面をpを通る法平面といい、pにおける各単位接ベクトルについて、M上の曲線を切り取る法平面が存在する。この曲線は、P_Xに含まれる曲線とみなしたときにある曲率κをもつが、すべてのκが等しくないと仮定したとき、κの極大値k₁を与える単位接ベクトル X₁及び極小値k₂を与える単位接ベクトルX₂が存在する。オイラーの定理は、X₁とX₂が直交し、さらに、ベクトルXをX₁に対してθの角をなす任意のベクトルとしたとき、

${\displaystyle \kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta \,}$

が成り立つことを主張するものである。

k₁とk₂は主曲率と呼ばれ、X₁とX₂はそれぞれに随伴する主方向と呼ばれる。

応用

地球楕円体面上の任意の点において、主方向は子午線方向及び卯酉線方向であり、両方向が直交していることは容易に確認できる。地理緯度 ${\displaystyle \varphi }$ における子午線曲率半径を ${\displaystyle M_{\varphi }}$、卯酉線曲率半径を ${\displaystyle N_{\varphi }}$ とするとき、極大曲率をもつ主方向（子午線方向）に対し任意方位角 ${\displaystyle \alpha \,\!}$ をなす垂直截線の曲率半径 ${\displaystyle R_{\varphi }^{\alpha }}$ は、回転楕円体の幾何学的考察からも導出可能ではあるが、オイラーの定理を用いることにより、

${\displaystyle R_{\varphi }^{\alpha }={\frac {M_{\varphi }N_{\varphi }}{N_{\varphi }\cos ^{2}\alpha +M_{\varphi }\sin ^{2}\alpha }}}$

のように直ちに求めることができる。

参考文献

• Euler, Leonard (1760), “Recherches sur la courbure des surfaces”, Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin 16: 119–143, 1767, https://books.google.fr/books?id=XLQEAAAAQAAJ&hl=ja&pg=PA119#v=onepage&q&f=false .

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