ドナルドソンの定理
(Donaldson's theorem から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 09:51 UTC 版)
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数学では、ドナルドソンの定理(Donaldson's theorem)は、次元 4 の単連結な滑らかな多様体(smooth manifold)の定値(definite)な交叉形式は、対角化可能であるという定理である。交叉形式が正定値（負定値）であれば、交叉形式は整数上の単位行列（負の単位行列）に対角化可能である。
歴史
この定理は、サイモン・ドナルドソン(Simon Donaldson)により証明された。
拡張
マイケル・フリードマン(Michael Freedman)は、任意のユニモジュラー対称二次形式(unimodular symmetric bilinear form)は、ある向きづけられた 4次元閉多様体の交叉形式として実現されることを示していた。この結果とセールの分類定理(Serre classification theorem)とドナルドソンの定理を結びつけると、いくつかの興味深い結果が得られる。
1) 対角化ができない交叉形式は、微分構造(differentiable structure)を持たない 4次元位相多様体(topological manifold)から発生する（滑らかにはできない）。
2) 2つの滑らかで単連結な 4次元多様体が同相であることと、それらの交叉形式は同一のランク、符号、パリティを持つことは同値である。
関連項目
- ユニモジュラー格子(Unimodular lattice)
参考文献
- Donaldson, S. K. (1983), “An application of gauge theory to four-dimensional topology”, Journal of Differential Geometry 18 (2): 279–315, ISSN 0022-040X, MR 710056
- S. K. Donaldson, P. B. Kronheimer The Geometry of Four-Manifolds (Oxford Mathematical Monographs) ISBN 0-19-850269-9
- D.S. Freed, K. Uhlenbeck, Instantons and four-manifolds, Springer (1984)
- M. Freedman, F. Quinn, Topology of 4-Manifolds", Princeton University Press (1990)
- A. Scorpan,The Wild World of 4-Manifolds, American Mathematical Society (2005)
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