数学 において、離散付値 （discrete valuation）は体 k 上の整数 付値 である。つまり、関数
ν
:
k
→
Z
∪
{
∞
}
{\displaystyle \nu :k\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}
であって、以下の条件を満たす。
ν
(
x
⋅
y
)
=
ν
(
x
)
+
ν
(
y
)
{\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}
ν
(
x
+
y
)
≥
min
{
ν
(
x
)
,
ν
(
y
)
}
{\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}
ν
(
x
)
=
∞
⟺
x
=
0.
{\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0.}
0
,
∞
{\displaystyle 0,\infty }
非自明な離散付値をもった体を離散付値体 （discrete valuation field）と言う。
離散付値環と体上の付値 離散付値
ν
{\displaystyle \nu }
k
{\displaystyle k}
O
k
:=
{
x
∈
k
∣
ν
(
x
)
≥
0
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}:=\left\{x\in k\mid \nu (x)\geq 0\right\}}
を考えることができる。これは離散付値環 である。逆に、離散付値環
A
{\displaystyle A}
ν
:
A
→
Z
∪
{
∞
}
{\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}
Quot
(
A
)
{\displaystyle {\text{Quot}}(A)}
k
{\displaystyle k}
O
k
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}
A
{\displaystyle A}
例
固定された素数
p
{\displaystyle p}
x
∈
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }
x
=
p
j
a
b
{\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}
j
,
a
,
b
∈
Z
{\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }
p
{\displaystyle p}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
ν
(
x
)
=
j
{\displaystyle \nu (x)=j}
p -進付値（p-adic valuation）と呼ばれる。
参考文献 Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions , Translations of Mathematical Monographs, 121 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2 , MR
1915966
関連項目
