B=μ0(H+M)について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
「静磁場」の記事における「B=μ0(H+M)について」の解説
前節同様に、強制電流ifcと磁化Mの両方が既知とし、これら以外に磁束密度の原因となるものがないとした場合について考える。式(3-1-1)のBtotに対し、新たな場Htotを、 H tot ( r ) := B tot ( r ) μ 0 − M ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} ):={\frac {\mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )}{{\mu }_{0}}}-\mathbf {M} (\mathbf {r} )} （3-2-1） と定める。式(3-2-1)は、所謂”B=μ0(H+M)”に他ならない。 さらに、強制電流 i f c {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{fc}} が作る磁束密度 B f c ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{fc}(\mathbf {r} )} は、式(1-2)により、（周辺の物質の有無にかかわらず）定まるが、式(1-3)に倣い「強制電流 i f c {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{fc}} が作る磁場 H f c ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )} 」を、 H f c ( r ) := 1 μ 0 B f c ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\mathbf {B} _{fc}(\mathbf {r} )} （3-2-2） によって定め、磁化による磁場HMを式（2-2-10）のように定めると、式（3-2-1）と式（3-2-2）、式（2-2-10）より、 H tot ( r ) = B tot ( r ) μ 0 − M ( r ) = B f c ( r ) + B M ( r ) μ 0 − M ( r ) = H f c ( r ) + ( H M ( r ) + M ( r ) ) − M ( r ) = H f c ( r ) + H M ( r ) (3-2-3) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )&={\frac {\mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )}{{\mu }_{0}}}-\mathbf {M} (\mathbf {r} )\\&={\frac {\mathbf {B} _{fc}(\mathbf {r} )+\mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )}{{\mu }_{0}}}-\mathbf {M} (\mathbf {r} )\\&=\mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )+(\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )+\mathbf {M} (\mathbf {r} ))-\mathbf {M} (\mathbf {r} )\\&=\mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )+\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )\qquad {\text{(3-2-3)}}\end{aligned}}} が得られる。従って、 rot [ H tot ( r ) ] = rot [ H f c ( r ) ] + rot [ H M ( r ) ] = i f c {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )]=\operatorname {rot} [\mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )]+\operatorname {rot} [\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )]={\boldsymbol {i}}_{fc}} （3-2-4） が得られる。これは、即ち（静磁場の）アンペールの法則である。 式（3-2-4）を示そう。式（2-2-9） 及び以下の式(3-2-5)より、 rot grad=0 (3-2-5) H M ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )} に対し、回転微分を作用させると、 rot [ H M ( r ) ] = 1 4 π ∫ s ∈ Ω rot r [ grad r [ < M ( s ) | ( r − s )> | r − s | 3 ] ] d 3 s = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )]={\frac {1}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\right]\ {d}^{3}{s}\ =0} (3-2-6) が判る。従って、磁化に起因する磁場 H M ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )} は、 rot [ H M ( r ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )]=0} (3-2-7) を満たす。 式(3-2-7)と式(1-5)より、式（3-2-4）が示された。
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