角の二等分線の定理

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角の二等分線の定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/01/13 19:39 UTC 版)

角の二等分線の定理

分野	ユークリッド幾何学
命題	三角形の1つの内角の二等分線と、その角と向かい合う辺（対辺）との交点が、対辺をその角をはさむ2つの辺の長さの比と等しい比に内分する。

初等幾何学における角の二等分線の定理（かくの にとうぶんせんのていり、英: Angle bisector theorem）は、三角形の内角および外角の二等分線と線分の長さの比について述べた定理である。

内角における角の二等分線の定理

∠ BAD = ∠ CAD ならば $BD:CD=AB:AC$

点 C を通り、辺ADに平行な直線と辺ABの延長の交点を E とする。 このとき、平行線の同位角から $\angle BAD=\angle BEC,\angle BDA=\angle BCE$

図で、点 B から直線 AD に下ろした垂線の足を B₁ とし、点 C から直線 AD におろした垂線の足をC₁ とする。

△ABB₁と△ACC₁において、

$\angle BAB_{1}=\angle CAC_{1}$

${\textstyle \alpha ={\frac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD}$

$\angle \gamma =\angle \delta \Leftrightarrow {\tfrac {EB}{EC}}={\tfrac {AB}{AC}}$

図のように、 AB ≠ AC である △ABC のとき、 外角Aの二等分線と辺 BC との交点を D、点 C を通り辺ADに平行な直線と辺ABとの交点を E とし、辺 BA の延長上に点 F をとる。 このとき、 $AD\|EC$から $\triangle BAD\sim \triangle BEC$ であり

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AE}}$

平行線の同位角から $\angle AEC=\angle FAD$ 、平行線の錯角から $\angle ACE=\angle CAD$ が成り立つ。したがって、 $\angle FAD=\angle CAD$であるから、 $\angle AEC=\angle ACE$となり、 $AC=AE$ が成り立つ。このことから、

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$

歴史

内角における角の二等分線の定理は、『ユークリッド原論』の第6巻の命題3として登場する。 Heath (1956, p. 197 (vol. 2))によると、外角の二等分線についてのこれに対応する記述はロバート・シムソンによって与えられ、パップスは証明なしにこの結果を仮定したと指摘した。Heathは続けて、オーガスタス・ド・モルガンは2つの定理を次のように組み合わせる必要があると提案したと述べた。

If an angle of a triangle is bisected internally or externally by a straight line which cuts the opposite side or the opposite side produced, the segments of that side will have the same ratio as the other sides of the triangle; and, if a side of a triangle be divided internally or externally so that its segments have the same ratio as the other sides of the triangle, the straight line drawn from the point of section to the angular point which is opposite to the first mentioned side will bisect the interior or exterior angle at that angular point.

応用

この定理は、次のようなことがらの議論で使用される。

• 三角形の内心と線分の長さ / 三角形の内心の座標
• アポロニウスの円

参考文献

• G.W.I.S Amarasinghe: On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol 01(01), pp. 15 – 27, 2012

外部リンク

• A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
• Intro to angle bisector theorem at Khan Academy