角の二等分線の定理

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角の二等分線の定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/13 05:35 UTC 版)

角の二等分線の定理

分野	ユークリッド幾何学
命題	三角形の1つの内角のニ等分線と、その角と向かい合う辺（対辺）との交点が、対辺をその角をはさむ2つの辺の長さの比と等しい比に内分する。

初等幾何学における角の二等分線の定理（かくの にとうぶんせんのていり、英: Angle bisector theorem）は、三角形の内角および外角の二等分線と線分の長さの比について述べた定理である。

内角における角の二等分線の定理

∠ BAD = ∠ CAD ならば ${\displaystyle BD:CD=AB:AC}$

点 C を通り、辺ADに平行な直線と辺ABの延長の交点を E とする。 このとき、平行線の同位角から ${\displaystyle \angle BAD=\angle BEC,\angle BDA=\angle BCE}$

図で、点 B から直線 AD に下ろした垂線の足を B₁ とし、点 C から直線 AD におろした垂線の足をC₁ とする。

△ABB₁と△ACC₁において、

${\displaystyle \angle BAB_{1}=\angle CAC_{1}}$

${\textstyle \alpha ={\frac {\angle BAC}{2}}=\angle BAD=\angle CAD}$

${\displaystyle \angle \gamma =\angle \delta \Leftrightarrow {\tfrac {EB}{EC}}={\tfrac {AB}{AC}}}$

図のように、 AB ≠ AC である △ABC のとき、 外角Aの二等分線と辺 BC との交点を D、点 C を通り辺ADに平行な直線と辺ABとの交点を E とし、辺 BA の延長上に点 F をとる。 このとき、${\displaystyle AD\|EC}$