1の原始べき根とは？わかりやすく解説

1の冪根（いちのべきこん、英: root of unity）または1の累乗根（いちのるいじょうこん）とは、数学において冪乗して 1 になる（冪単である）数のことである。すなわち、ある自然数 $n$ が存在して

z n = 1

となる $z$ のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては $p$ 進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。

1 の $n$ 乗根の内、 $m (< n)$ 乗しても決して 1 にならず、 $n$ 乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数 $n$ に対する 1 の原始 $n$ 乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。

1の原始冪根

複素数の範囲では、1 の原始 $n$ 乗根は $n \geq 3$ のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、

\zeta _{n}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

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