非線形常微分方程式の解としてのヤコビの楕円関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
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ヤコビの楕円関数を微分すると、 d d z s n ( z ) = c n ( z ) d n ( z ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z)=\mathrm {cn} \,(z)\,\mathrm {dn} \,(z)} d d z c n ( z ) = − s n ( z ) d n ( z ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z)=-\mathrm {sn} \,(z)\,\mathrm {dn} \,(z)} d d z d n ( z ) = − k 2 s n ( z ) c n ( z ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z)\,\mathrm {cn} \,(z)} となる。 上記の加法定理を使うと、k が 0 < k < 1 を満たす場合は、ヤコビの楕円関数は下記の非線形常微分方程式の解となる。 s n ( x ) {\displaystyle \mathrm {sn} \,(x)} は次の微分方程式の解である d 2 y d x 2 + ( 1 + k 2 ) y − 2 k 2 y 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0} や ( d y d x ) 2 = ( 1 − y 2 ) ( 1 − k 2 y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})} c n ( x ) {\displaystyle \mathrm {cn} \,(x)} は次の微分方程式の解である d 2 y d x 2 + ( 1 − 2 k 2 ) y + 2 k 2 y 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0} や ( d y d x ) 2 = ( 1 − y 2 ) ( 1 − k 2 + k 2 y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})} d n ( x ) {\displaystyle \mathrm {dn} \,(x)} は次の微分方程式の解である d 2 y d x 2 − ( 2 − k 2 ) y + 2 y 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0} や ( d y d x ) 2 = ( y 2 − 1 ) ( 1 − k 2 − y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})}
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