階段関数の密度とデルタ関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/28 12:26 UTC 版)
「ヘヴィサイドの階段関数」の記事における「階段関数の密度とデルタ関数」の解説
ディラックのデルタ関数 δと区間 ( − ∞ , x ] {\displaystyle (-\infty ,x]} の定義関数 χ ( − ∞ , x ] {\displaystyle \chi _{(-\infty ,x]}} に対し ∫ − ∞ x δ ( t ) d t := ∫ − ∞ ∞ χ ( − ∞ , x ] ( t ) δ ( t ) d t = χ ( − ∞ , x ] ( 0 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\delta (t)dt:=\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{(-\infty ,x]}(t)\delta (t)dt=\chi _{(-\infty ,x]}(0)} とおくと、これは x < 0 のとき区間 ( − ∞ , x ] {\displaystyle (-\infty ,x]} は 0 を含まず、x ≥ 0 のとき区間 ( − ∞ , x ] {\displaystyle (-\infty ,x]} が 0 を含むことから χ ( − ∞ , x ] ( 0 ) = { 0 ( x < 0 ) 1 ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \chi _{(-\infty ,x]}(0)={\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x\geq 0)\end{cases}}} となる。つまり H 0 ( x ) = ∫ − ∞ x δ ( ξ ) d ξ {\displaystyle H_{0}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (\xi )d\xi } と表される。この意味でヘヴィサイドの階段関数はディラックのデルタ関数を確率密度関数とするときの累積分布関数に相当する。
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