線形力学系の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:33 UTC 版)
初期値 x(0) = x0 が、行列 A の固有ベクトル vk ならば、初期条件は d d t x ( t ) | t = 0 = A v k = λ k v k {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)\right|_{t=0}=A\mathbf {v} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}} となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、 x ( t ) = v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {v} _{k}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}t}} となる。 もし A が対角化可能ならば、任意の初期値 x0 は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 ak が一意に存在する。 x 0 = ∑ k = 1 n a k v k {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}} このとき解は、 x ( t ) = ∑ k = 1 n a k v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}e^{\lambda _{k}t}} となる。 対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて x ( t ) = e t A x 0 ( e t A = ∑ n = 0 ∞ t n n ! A n ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{tA}\mathbf {x} _{0}\quad {\biggl (}e^{tA}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A^{n}{\biggr )}} と、解を導くことができる。
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