絶対連続の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/05 08:00 UTC 版)
α がルベーグ測度 dx に対して絶対連続であるとき、すなわち適当な区間 [x1,x2]（x1 = −∞ および x2 = ∞ となってもよい）上に台を持つ非負函数 W を密度函数 (weight function) として d α ( x ) = W ( x ) d x {\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx} と書けるとき、内積も ⟨ f , g ⟩ = ∫ x 1 x 2 f ( x ) g ( x ) W ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx} の形に与えられる。しかし多くの直交多項式系の例において、測度 dα(x) は α の不連続点集合が正の測度を持ち、このような密度函数 W を与えることはできない。
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