移入分解と移入次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/09 07:01 UTC 版)
加群 M に対し、各 Q i {\displaystyle Q_{i}} が移入加群であるような次の完全列 0 → M → Q 0 → Q 1 → ⋯ → Q n → Q n + 1 → ⋯ {\displaystyle 0\to M\to Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{n}\to Q_{n+1}\to \cdots } を M の移入分解という。任意の加群は移入分解をもつ。すべての i > n に対し Qi = 0 であるような移入分解を長さ n の移入分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M の移入次元といい、存在しない場合は移入次元は ∞ という。ただし、{0} の移入次元は −1 とする。移入次元は id(M) と書かれる。R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値。 id(M) ≤ n. 任意の R-加群 X に対して、 Ext R n + 1 ( X , M ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(X,M)=\{0\}.} 任意の i ≥ n+1 と任意の R-加群 X に対して、 Ext R i ( X , M ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(X,M)=\{0\}.}
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