演算子 E

統計学用語辞典

演算子 E，V

　記号としての演算子 E，V を次のように定めると都合がよい。
　　　
または
　　　
ただし，r = 0，1，2， …
　母平均，母分散は次式のように表すことができる。
　　　
　　　
演算規則は以下の通りである。
a, b, c は定数，σxy は x ，y の共分散，式中の復号は同順。

• E ( c ) = c　　
  
• E ( c x ) = c E ( x )
  
• E ( c x + a) = c E ( x ) + a
  
• E ( x ± y ) = E ( x ) ± E ( y )
  
• E ( a x ± b y ) = a E ( x ) ± b E ( y )
  
• E ( x y ) = E ( x ) E ( y ) + σxy
  
• E ( x y ) = E [ x E ( y | x ) ] = E [ y E ( x | y ) ]
  ここで，E ( x | y ) は，y が与えられたときの x の期待値であり，y のもとでの x の 条件付き期待値 と呼ぶ。
  
• V ( c ) = 0
  
• V ( x + c ) = V ( x )
  
• V ( c x ) = c² V ( x )
  
• V ( x ± y ) = V ( x ) + V ( y ) ± 2 σxy
  
• V ( a x ± b y ) = a² V ( x ) + b² V ( y ) ± 2 a b σxy