極円_(幾何学)

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極円 (幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/26 09:23 UTC 版)

  △ABC

  頂垂線 (垂心Hで交わる)

  △ABCの極円 、Hを中心とする。

幾何学において、三角形の極円（きょくえん、英:polar circle）は垂心を中心とし、半径の二乗が以下の式で表される円である。 $${\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}$$

  △ABC とその 接線三角形

  △ABC の外接円e
(中心は外心 L)

  接線三角形の外接円s
(中心はK)

  △ABCの九点円t
(中心はM)

  △ABCの極円d
(中心はH)

上記の円の中心はすべて オイラー線上にある。

• 垂心系を成す4つの点のうち3点からできる三角形の極円は直交する。
• 極円と第二ドロー＝ファルニー円、ステヴァノヴィッチ円は直交する。
• 三角形の任意の内接円錐曲線の準円と極円は直交する。
• 三角形の外接円、九点円、極円、接線三角形の外接円、の中心は共線（オイラー線）である。
• ド・ロンシャン円を重心を中心に-2倍拡大（2:1の反転）したものである。
• 極円の極三角形は元の三角形である。そのため、「自己共役円」とも呼ばれる。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Second Droz-Farny Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Stevanović Circle". mathworld.wolfram.com (英語).