応用: 相互作用するボース粒子系のRPA基底状態
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/19 18:03 UTC 版)
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ボソン系のRPA真空 | R P A ⟩ {\displaystyle \left|\mathbf {RPA} \right\rangle } は、相関のないボソン真空 | M F T ⟩ {\displaystyle \left|\mathbf {MFT} \right\rangle } と元々のボソン励起 a i † {\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }} で表すことができる。 | R P A ⟩ = N e Z i j a i † a j † / 2 | M F T ⟩ {\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle } N = ⟨ M F T | R P A ⟩ ⟨ M F T | M F T ⟩ {\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}} ここでZは | Z | ≤ 1 {\displaystyle |Z|\leq 1} を満たす対称行列である。 この正規化は次のように計算される。 ⟨ R P A | R P A ⟩ = N 2 ⟨ M F T | e z i ( q ~ i ) 2 / 2 e z j ( q ~ j † ) 2 / 2 | M F T ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1} ここで Z i j = ( X t ) i k z k X j k {\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}} は Z i j {\displaystyle Z_{ij}} の特異値分解である。 q ~ i = ( X † ) j i a j {\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}} N − 2 = ∑ m i ∑ n j ( z i / 2 ) m i ( z j / 2 ) n j m ! n ! ⟨ M F T | ∏ i j ( q ~ i ) 2 m i ( q ~ j † ) 2 n j | M F T ⟩ = ∏ i ∑ m i ( z i / 2 ) 2 m i ( 2 m i ) ! m i ! 2 = ∏ i ∑ m i ( z i ) 2 m i ( 1 / 2 m i ) = det ( 1 − | Z | 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {N}}^{-2}&=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle \\&=\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}\\&=\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}\end{aligned}}} 元々の励起と新たな励起の結合は、次のように与えられる。 a ~ i = ( 1 1 − Z 2 ) i j a j + ( 1 1 − Z 2 Z ) i j a j † {\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }} .
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