和田の湖とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > 和田の湖の意味・解説 

和田の湖

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/10/08 09:19 UTC 版)

数学における和田の湖(わだのみずうみ、: lakes of Wada)とは、面上における3つの領域であって、それぞれは連結であり、互いに共通部分を持たず、しかも全く同じ境界を持つものの例である。

概要と歴史

平面あるいは球面上において、同じ境界を持つ2つの領域を考えることは易しい。例えば、球面を北半球と南半球に分ければ、その2つの領域は赤道を共通の境界に持つ。これに対し、3つ以上の領域が共通の境界を持つことは、直感的にはあり得ないことのように感じられる。しかし、無限に入り組んだ複雑な領域を考えるならば、そのようなことも可能である。

数学者の米山国蔵は、1917年にそのような例を発表した。米山によれば、それは彼の師である和田健雄のアイデアだったため、和田の湖と呼ばれるようになった[1]。また、同じ境界を持つ3つ以上の領域は、和田の性質 (Wada property) を持つ、という言い方をする。和田の湖は、直感に反する病的な例として人工的に構成されたものであるが、後述のように、和田の性質を持つ例が力学系において自然に現れることも、次第に分かってきた。そのようなものは、和田の吸引領域 (Wada basins) と呼ばれる。

和田の湖の構成

5日目までに掘られた3色の湖。白い部分はまだ陸である。

文献によって細部は若干異なるが、アイデアは本質的には同等である。ここでは、右図に基いた記述を行う。また、3つのみならず、3つ以上の任意の個数の領域についても、同様のアイデアで構成できる。

単位正方形

z3 − 1 = 0 の3つの解(1の立方根)に対応した3つの領域は、複雑に絡み合って共通の境界を持つ。
原点近くの拡大図。自己相似性が観察される。

和田の性質を持つ自然な例を得るには、例えば三次方程式 z3 − 1 = 0 を考えればよい。この方程式は三つの解

を持つ。方程式の解を近似的に求める方法としてニュートン法があるが、三つの解のうちどれが求まるかは、最初にランダムに選んだ複素数に依存する。求まる解によって、複素数平面上の複素数を色分けすると、右の図が得られる。この3つの領域は、和田の性質を持つ。ただし、和田の湖とは異なり、3つの領域はどれも連結ではなく、それどころか無限個の部分に分かれている。この例は、和田の吸引領域と呼ばれるもののうち、最も単純な例である。

なお、境界上の点は、ニュートン法では(ゼロ除算が生じるなどして)解が求まらない初期値であることを意味する。ほんの少しずらせば解が求まるようになるが、3つの領域が和田の性質を持つということは、ずらし方がほんの少し変わるだけで得られる解が3通りに変わってくることを意味する。これはカオス理論が主に題材とする典型的な現象である。

出典

  1. ^ スチュアート p.195

参考文献

関連項目

外部リンク




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「和田の湖」の関連用語





和田の湖のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



和田の湖のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの和田の湖 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS