同じスティーフェル・ホイットニー類を持つ非同型なバンドル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 09:34 UTC 版)
「スティーフェル・ホイットニー類」の記事における「同じスティーフェル・ホイットニー類を持つ非同型なバンドル」の解説
写像 w1 : Vect1(X) → H1(X; Z/2Z) は全単射であるにもかかわらず、対応する写像は高次元では必ずしも単射となるわけではない。たとえば、n を偶数として、接バンドル TSn を考えると、Rn+1 への Sn の標準的な埋め込みを持つ Sn への法バンドル ν はラインバンドルである。Sn は向きつけ可能であるので、ν は自明である。和 TSn ⊕ ν はまさに TRn+1 から Sn への制限であり、Rn+1 は可縮であるので、和は自明である。従って w(TSn) = w(TSn)w(ν) = w(TSn ⊕ ν) = 1 である。しかし TSn → Sn は自明ではない。そのオイラー類 e ( T S n ) = χ ( T S n ) [ S n ] = 2 [ S n ] ≠ 0 {\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0} である。ここに [Sn] は Sn の基本類を表し、χ はオイラー標数を表す。
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