反転の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 04:26 UTC 版)
定理の証明には、球に関して鏡像を取る反転を用いるのが易しい。一般に、中心 O、半径 Rの球に関する反転では、点 Pの写る先は、半直線 OP上の点であって、OP×OP'=R2を満たす点 P'である。この定義では、球の中心 Oの写る先が決められないが、便宜上、仮想的な無限遠点とOが互いに写りあうものとすれば、反転は1対1の写像であり、逆写像は自分自身である。 6球連鎖の定理を示すには、いくつかの反転の性質に着目しておく必要がある。まず、球は反転によってやはり球となる。ただし、Oを通る球は平面となる。反転は1対1の写像であるから、接する2球は反転しても接している。ただし、Oで接する2球は、反転すると平行な2平面となる。平面は「半径が無限大の球」であり、平行な2平面は「無限遠点で接する」と解釈すれば、平面を特別扱いする必要はない。
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