交代多重線型形式

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交代多重線型形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:17 UTC 版)

多重線型代数における交代多重線型形式（こうたいたじゅうせんけいけいしき、英: alternating multi­linear form）、多重線型交代形式 (multi­linear alternating form) または反対称多重線型形式 (anti­symmertic multi­linear form) は、どの二つの変数でも一致するとき値が零となるような多重線型形式を言う。まぎれの虞が無いならば短く、交代形式や反対称形式などともいう。

線型代数学における行列の行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である。

定義

体 K 上のベクトル空間 V 上で定義された多重線型形式 f が交代的 (alternating) あるいは反対称 (antisymmetry) とは、追加の性質（反対称性）^[1]:

$${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$$