分母の微分に関する条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 02:48 UTC 版)
「ロピタルの定理」の記事における「分母の微分に関する条件」の解説
I ∖ { c } {\displaystyle I\setminus \{c\}} において g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} が成り立つという条件が成り立たない場合、次のような反例が存在する。 f ( x ) = x + cos x sin x {\displaystyle f(x)=x+\cos x\sin x} g ( x ) = e sin x ( x + cos x sin x ) {\displaystyle g(x)=e^{\sin x}(x+\cos x\sin x)} とおくと、 f ( x ) / g ( x ) = 1 / e sin x {\displaystyle f(x)/g(x)=1/e^{\sin x}} は x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } のとき発散するが、 f ′ ( x ) g ′ ( x ) = 2 cos 2 x e sin x cos x ( x + ( sin x + 2 ) cos x ) = 2 cos x e sin x ( x + ( sin x + 2 ) cos x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{e^{\sin x}\cos x(x+(\sin x+2)\cos x)}}\\&={\frac {2\cos x}{e^{\sin x}(x+(\sin x+2)\cos x)}}\end{aligned}}} は0に収束する。
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