分母が重根を持つ場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/13 09:14 UTC 版)
「ヘヴィサイドの展開定理」の記事における「分母が重根を持つ場合」の解説
分母がn重根 a を持つ有理関数 F ( s ) = P ( s ) Q ( s ) = ϕ ( s ) ( s − a ) n = ∑ j = 1 n A j ( s − a ) j + R ( s ) {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {\phi (s)}{(s-a)^{n}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {A_{j}}{(s-a)^{j}}}+R(s)} A j = 1 ( n − j ) ! lim s → a d n − j d s n − j ( ( s − a ) n F ( s ) ) {\displaystyle A_{j}={\frac {1}{(n-j)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-j}}{ds^{n-j}}}((s-a)^{n}F(s))} L − 1 [ F ( s ) ] = exp ( a t ) ∑ j = 1 n ϕ ( n − j ) ( a ) ( n − j ) ! ( j − 1 ) ! t j − 1 + L − 1 [ R ( s ) ] {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]=\exp(at)\sum _{j=1}^{n}{\frac {\phi ^{(n-j)}(a)}{(n-j)!(j-1)!}}t^{j-1}+{\mathcal {L}}^{-1}[R(s)]} 1 ( n − 1 ) ! lim s → a d n − 1 d s n − 1 ( ϕ ( s ) exp ( s t ) ) {\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}(\phi (s)\exp(st))} と同じものである。
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