ベル多項式による特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/20 06:07 UTC 版)
「二項型多項式列」の記事における「ベル多項式による特徴付け」の解説
任意の数列 { a1, a2, a3, … } に対して p n ( x ) = ∑ k = 1 n B n , k ( a 1 , … , a n − k + 1 ) x k . {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.} と置くとこの多項式列は二項型になる。ただし、Bn,k(a1, …, an−k+1) はベル多項式とする。任意の n ≥ 1 に対して p n ′ ( 0 ) = a n {\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}} であることに注意せよ。本節における主結果を掲げる 定理 任意の二項型多項式列はこの形に書ける。 Mullin & Rota (1970) や引き続いて Rota, Kahaner & Odlyzko (1973) は任意の二項型多項式列 { pn(x) }n が数列 { pn′(0) }n から決定できることを示しているが、これらはベル多項式については言及していない。 この数列はデルタ作用素とも関係していて、 P ( t ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ! t n {\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}} と置けば P − 1 ( d d x ) {\displaystyle P^{-1}\left({d \over dx}\right)} がこの列のデルタ作用素になる。
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