フルビッツ行列とフルビッツの安定判別法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/08 02:45 UTC 版)
「フルビッツ行列」の記事における「フルビッツ行列とフルビッツの安定判別法」の解説
数学の分野におけるフルビッツ行列とは、実多項式の係数から構成される実構造化正方行列のことである。すなわち、実多項式 p ( z ) = a 0 z n + a 1 z n − 1 + ⋯ + a n − 1 z + a n {\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}} に対して得られる n {\displaystyle n} 次正方行列 H ( p ) := [ a 1 a 3 a 5 a 7 … 0 a 0 a 2 a 4 a 6 … 0 0 a 1 a 3 a 5 … 0 0 a 0 a 2 a 4 … 0 0 0 a 1 a 3 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 … a n ] {\displaystyle H(p):={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&a_{7}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&a_{6}&\ldots &0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&0&a_{1}&a_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\ldots &a_{n}\\\end{bmatrix}}} を多項式 p {\displaystyle p} に対するフルビッツ行列と呼ぶ。1895年にアドルフ・フルビッツは、実多項式 p {\displaystyle p} が安定であること（すなわちその全ての根が複素平面の開左半平面に存在すること）の必要十分条件として、そのフルビッツ行列 H ( p ) {\displaystyle H(p)} の主座小行列式すべてが正であること（たとえば Δ 1 ( p ) = | a 1 | = a 1 > 0 Δ 2 ( p ) = | a 1 a 3 a 0 a 2 | = a 2 a 1 − a 0 a 3 > 0 Δ 3 ( p ) = | a 1 a 3 a 5 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 | = a 3 Δ 2 − a 1 ( a 1 a 4 − a 0 a 5 ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}} が成立することなど）を得た。各小行列式 Δ k ( p ) {\displaystyle \Delta _{k}(p)} ( k = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle (k=1,2,\cdots )} はフルビッツ行列式と呼ばれる。
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