フォック状態は一般的にエネルギー固有状態では無い
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
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第二量子化理論では、ハミルトニアン密度関数は次のように与えられる。 H = 1 2 m ∇ i ψ ∗ ( x ) ∇ i ψ ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\nabla _{i}\psi (x)} :189 全ハミルトニアンは、次のように与えられる。 H = ∫ d 3 x H = ∫ d 3 x ψ ∗ ( x ) ( − ∇ 2 2 m ) ψ ( x ) ( ∴ H = − ∇ 2 2 m ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\quad (\therefore {\mathfrak {H}}=-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}})} 自由粒子のシュレーディンガー方程式:189 は、 H ψ n ( + ) ( x ) = − ∇ 2 2 m ψ n ( + ) ( x ) = E n 0 ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)} この解は直交性を満たす。 ∫ d 3 x ψ n ( + ) ∗ ( x ) ψ n ′ ( + ) ( x ) = δ n n ′ {\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}} また消滅演算子を a ^ n {\displaystyle {\hat {a}}_{n}} として、次の関係がある。 ψ ( x ) = ∑ n a ^ n ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}{\hat {a}}_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)} よって、 ∴ H = ∑ n , n ′ ∫ d 3 x a ^ n ′ † ψ n ′ ( + ) ∗ ( x ) H a ^ n ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x){\mathfrak {H}}{\hat {a}}_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)} 相互作用しない粒子においてのみ、 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} と a ^ n {\displaystyle {\hat {a}}_{n}} が交換する。しかし一般の場合にはこれらは交換しない。相互作用しない粒子では、 H = ∑ n , n ′ ∫ d 3 x a ^ n ′ † ψ n ′ ( + ) ∗ ( x ) E n 0 ψ n ( + ) ( x ) a ^ n = ∑ n , n ′ E n 0 a ^ n ′ † a ^ n δ n n ′ = ∑ n E n 0 a ^ n † a ^ n = ∑ n E n 0 N ^ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x){\hat {a}}_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\hat {N}}} これらが交換しない場合、ハミルトニアンは上述の表現を持たない。よって一般的にフォック状態は系のエネルギー固有状態ではない。
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