トレミーの不等式

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トレミーの不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/28 23:19 UTC 版)

4つの点と6つの距離。これらの点は共円ではないため、トレミーの不等式はこれらの点に対して厳密である。

ユークリッド幾何学において、トレミーの不等式（トレミーのふとうしき）とは、平面または高次元空間内の4点により決まる6つの距離についての不等式。4つの任意の点 A, B, C, D について、次の不等式が成り立つことを示す。

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

距離がトレミーの不等式に従わない閉路グラフ

トレミーの不等式は、任意の内積空間でより一般的に成り立ち^[1][8]、ノルム線型空間に対して真である場合は常にその空間は内積空間でなくてはならない^[8][9]。

他のタイプの距離空間では、この不等式は成り立つ場合と成り立たない場合がある。この不等式が成立する空間をPtolemaicと呼び、例えば、図のような4頂点で全ての辺の長さが1に等しい閉路グラフを考える。対向する辺の積の和は2であるが、対角線上にある頂点は頂点は互いに2の距離にあるため対角線の積は4となり、辺の積の和よりも大きくなる。したがって、このグラフの最短経路距離はPtolemaicではない。距離がトレミーの不等式に従うグラフはPtolemaic graphと呼ばれ、任意のグラフに比べて制限された構造をしている。特に、示されるような3以上の長さの誘導パスを認めない^[10]。

Ptolemaicな空間は全てのCAT(0)空間および特に全てのアダマール空間を含む。完全なリーマン多様体がPtolemaicであれば、それは必ずアダマール空間である^[11]。

関連項目

• 三角不等式

脚注

1. ^ ^{a b} Schoenberg, I. J. (1940), “On metric arcs of vanishing Menger curvature”, Annals of Mathematics, Second Series 41: 715-726, doi:10.2307/1968849, MR0002903 .
2. ^ Steele, J. Michael (2004), “Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)”, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, p. 69, ISBN 9780521546775, https://books.google.com/books?id=7GDyRMrlgDsC&pg=PA69 .
3. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), “6.1 Ptolemy's inequality”, When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, pp. 82-83, ISBN 9780883853429, https://books.google.com/books?id=U1ovBsSRNscC&pg=PA82 .
4. ^ Apostol (1967) attributes the inversion-based proof to textbooks by R. A. Johnson (1929) and Howard Eves (1963).
5. ^ ^{a b} Stankova, Zvezdelina; Rike, Tom, eds. (2008), “Problem 7 (Ptolemy's Inequality)”, A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, MSRI Mathematical Circles Library, 1, American Mathematical Society, p. 18, ISBN 9780821846834, https://books.google.com/books?id=vix-AwAAQBAJ&pg=PA18 .
6. ^ ^{a b} Apostol, Tom M. (1967), “Ptolemy's inequality and the chordal metric”, Mathematics Magazine 40: 233-235, MR0225213 .
7. ^ Silvester, John R. (2001), “Proposition 9.10 (Ptolemy's theorem)”, Geometry: Ancient and Modern, Oxford University Press, p. 229, ISBN 9780198508250, https://books.google.com/books?id=VtH_QG6scSUC&pg=PA229 .
8. ^ ^{a b} Giles, J. R. (2000), “Exercise 12”, Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathematical Society lecture series, 13, Cambridge University Press, p. 47, ISBN 9780521653756, https://books.google.com/books?id=VVeV6EKimjQC&pg=PA47 .
9. ^ Schoenberg, I. J. (1952), “A remark on M. M. Day's characterization of inner-product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal”, Proceedings of the American Mathematical Society 3: 961-964, doi:10.2307/2031742, MR0052035 .
10. ^ Howorka, Edward (1981), “A characterization of Ptolemaic graphs”, Journal of Graph Theory 5 (3): 323-331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR625074 .
11. ^ Buckley, S. M.; Falk, K.; Wraith, D. J. (2009), “Ptolemaic spaces and CAT(0)”, Glasgow Mathematical Journal 51 (2): 301-314, doi:10.1017/S0017089509004984, MR2500753 .

外部リンク

• 『トレミーの不等式の証明と例題』 - 高校数学の美しい物語