デバイ模型からの導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/21 09:41 UTC 版)
「デュロン＝プティの法則」の記事における「デバイ模型からの導出」の解説
デュロン＝プティの法則は、デバイ模型からも導くことができる。ここでは、デバイ模型の格子比熱としてデバイの比熱式が既に求まっているとして導出する。 デバイの比熱式は1モルあたり C = 9 N A k B ( T Θ D ) 3 ∫ 0 Θ D / T e x x 4 d x ( e x − 1 ) 2 {\displaystyle C=9N_{\mathrm {A} }k_{\mathrm {B} }\left({\frac {T}{\Theta _{\mathrm {D} }}}\right)^{3}\int _{0}^{\Theta _{\mathrm {D} }/T}{\frac {e^{x}x^{4}dx}{(e^{x}-1)^{2}}}} である。ここで Θ D {\displaystyle \Theta _{\mathrm {D} }} はデバイ温度であり、 x = ℏ ω / k B T {\displaystyle x=\hbar \omega /k_{\mathrm {B} }T} である。 T ≫ Θ D {\displaystyle T\gg \Theta _{\mathrm {D} }} では積分の上限が小さくなるため、被積分関数の e x {\displaystyle e^{x}} を e x ≃ 1 + x {\displaystyle e^{x}\simeq 1+x} と近似することができ、 C ∼ 9 N A k B ( T Θ D ) 3 ∫ 0 Θ D / T x 2 d x = 3 R {\displaystyle C\sim 9N_{\mathrm {A} }k_{\mathrm {B} }\left({\frac {T}{\Theta _{\mathrm {D} }}}\right)^{3}\int _{0}^{\Theta _{\mathrm {D} }/T}x^{2}dx=3R} となり、求めることができた。
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