シンツェルの定理

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シンツェルの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/03 22:18 UTC 版)

数の幾何学においてシンツェルの定理（シンツェルのていり、英: Schinzel's theorem）は、平面上の円と格子点に関する定理である。

定理 ― ユークリッド平面において、任意の正整数nに対して、ちょうどnつの格子点を通るような円が存在する。

アンジェイ・シンツェルによって証明され、その功績を称えて名づけられた。

証明

シンツェルの構成によって与えられた、ちょうど4点を通る円

シンツェルは次の方法によって円を構成し、定理を証明した。nが偶数つまり整数kを用いてn = 2kと表せるとき、次の方程式で表される円は、ちょうどnつの格子点を通る。 $$\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.$$半径は5 ^{k - 1/2}/2で中心は( 1/2, 0)。例えば、k = 2としたとき、半径は √5/2で、格子点を4点のみ通る。

両辺に4をかけて式を変形すると、 $$\left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}.$$ここで5^{k - 1}は奇数と偶数の2整数の平方和である。5^{k - 1}を2つの整数の自乗の和として表す方法は、ちょうど2k通りあることが知られている。例えばk = 2ならば、5¹ = (± 1)² + (± 2)²であるので、通る格子点は(± 1, ± 2)（複号任意）に対応する4点となる。

nが奇数、つまり整数kを用いてn = 2k + 1と表されるときは、次の方程式で表される円がただn個の格子点を通る。 $$\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.$$半径は 5^k/3で、中心は( 1/3, 0)。

性質

シンツェルの方法によって構成された円は、必ずしも条件を満たす最小の円であるとは限らない。しかし、明白に方程式を示すことができるという点で有用である。